Hitunglah \( \displaystyle \int_3^4 \int_1^2 \ \frac{dy \ dx}{(x+y)^2} \).
Pembahasan:
Langkah pertama untuk menyelesaikan integral lipat ini adalah dengan menganggap \(x\) sebagai suatu konstanta dan integralkan integrannya terhadap variabel \(y\) menggunakan teknik substitusi, sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \int_3^4 \int_1^2 \ \frac{dy \ dx}{(x+y)^2} &= - \int_3^4 \ \left[ \frac{1}{x+y} \right]_1^2 \ dx \\[8pt] &= \int_3^4 \ \left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \right) \ dx \\[8pt] &= \left[ \ln(x+1)-\ln(x+2) \right]_3^4 \\[8pt] &= \left[ \ln\left( \frac{x+1}{x+2} \right) \right]_3^4 \\[8pt] &= \ln \left( \frac{5}{6} \right) - \ln \left( \frac{4}{5} \right) \\[8pt] &= \ln\left( \frac{25}{24} \right) \end{aligned}